Porcentagem – Preparação PM

📊 Porcentagem

Preparação para Concursos Militares – Soldado PM

1. Conceito de Porcentagem

O que é Porcentagem?

Porcentagem (ou percentagem) é uma razão cujo denominador é igual a 100. O símbolo “%” significa “por cento” ou “a cada 100”.

Quando dizemos 25%, estamos dizendo “25 a cada 100” ou “25 partes de um total de 100 partes”.

A porcentagem é uma das ferramentas matemáticas mais utilizadas no dia a dia e em concursos. Ela aparece em contextos como:

  • Descontos e acréscimos em valores
  • Taxas de juros e rendimentos
  • Estatísticas e índices de criminalidade
  • Variações de efetivo policial

2. Formas de Representação

Um mesmo valor percentual pode ser expresso de três formas equivalentes:

Porcentagem Fração Decimal
50% 50/100 = 1/2 0,50
25% 25/100 = 1/4 0,25
10% 10/100 = 1/10 0,10
75% 75/100 = 3/4 0,75
20% 20/100 = 1/5 0,20
33,33% 1/3 0,333…
Conversão rápida:

• Porcentagem → Decimal: Divida por 100 (ou ande 2 casas para a esquerda)
   Ex: 35% = 35 ÷ 100 = 0,35

• Decimal → Porcentagem: Multiplique por 100 (ou ande 2 casas para a direita)
   Ex: 0,08 = 0,08 × 100 = 8%

3. Calculando Porcentagem de um Valor

Fórmula Principal:

$$\text{Porcentagem de um valor} = \frac{P}{100} \times V$$

Onde: P = porcentagem   |   V = valor total

Métodos para calcular porcentagem:

  1. Regra de três: Monte a proporção com 100
  2. Fração: Transforme a % em fração e multiplique
  3. Decimal: Transforme a % em decimal e multiplique
Exemplo 1 – Porcentagem de um valor

Em uma operação policial, 240 pessoas foram abordadas. Dessas, 15% estavam em situação irregular. Quantas pessoas estavam irregulares?

Resolução (3 métodos):
Método 1 – Regra de Três:
240 pessoas → 100%
x pessoas → 15%

100x = 240 × 15
x = 3600 ÷ 100 = 36 pessoas
Método 2 – Fração:
$$15\% \text{ de } 240 = \frac{15}{100} \times 240 = \frac{3600}{100} = \textbf{36 pessoas}$$
Método 3 – Decimal:
15% = 0,15
0,15 × 240 = 36 pessoas
Porcentagens úteis para cálculo mental:

• 10%: Divida por 10 (ex: 10% de 80 = 8)
• 5%: É a metade de 10% (ex: 5% de 80 = 4)
• 1%: Divida por 100 (ex: 1% de 80 = 0,8)
• 25%: Divida por 4 (ex: 25% de 80 = 20)
• 50%: Divida por 2 (ex: 50% de 80 = 40)

4. Aumentos Percentuais

Fator de Aumento

Quando um valor sofre um aumento de P%, o novo valor é obtido multiplicando-se o valor original pelo fator de aumento.

Fator de Aumento:

$$\text{Fator} = 1 + \frac{P}{100} = \frac{100 + P}{100}$$

Valor Final = Valor Inicial × Fator de Aumento

Aumento Fator Multiplicador
10%1,10
15%1,15
20%1,20
25%1,25
30%1,30
50%1,50
100%2,00
Exemplo 2 – Aumento Percentual

O efetivo de um batalhão era de 450 policiais. Após concurso, houve um aumento de 20%. Qual o novo efetivo?

Resolução:
Fator de aumento: 1 + 0,20 = 1,20
Novo efetivo: 450 × 1,20 = 540 policiais
Verificação: 20% de 450 = 90 policiais a mais
450 + 90 = 540 ✓

5. Descontos Percentuais

Fator de Desconto

Quando um valor sofre um desconto de P%, o novo valor é obtido multiplicando-se o valor original pelo fator de desconto.

Fator de Desconto:

$$\text{Fator} = 1 – \frac{P}{100} = \frac{100 – P}{100}$$

Valor Final = Valor Inicial × Fator de Desconto

Desconto Fator Multiplicador
10%0,90
15%0,85
20%0,80
25%0,75
30%0,70
50%0,50
Exemplo 3 – Desconto Percentual

O índice de criminalidade em uma região era de 1.200 ocorrências mensais. Após intensificação do policiamento, houve redução de 35%. Qual o novo índice?

Resolução:
Fator de desconto: 1 – 0,35 = 0,65
Novo índice: 1.200 × 0,65 = 780 ocorrências
Verificação: 35% de 1.200 = 420 ocorrências a menos
1.200 – 420 = 780 ✓

6. Aumentos e Descontos Sucessivos

Aumentos/descontos sucessivos NÃO se somam!

Um aumento de 10% seguido de outro aumento de 10% NÃO equivale a um aumento de 20%!

Os fatores devem ser MULTIPLICADOS, não somados.

Variações Sucessivas:

$$\text{Fator Total} = \text{Fator}_1 \times \text{Fator}_2 \times \text{Fator}_3 \times …$$
Exemplo 4 – Aumentos Sucessivos

O salário de um policial era R$ 4.000. Ele recebeu um aumento de 10% e, depois, outro de 20%. Qual o salário final?

Resolução:
Fatores:
• Aumento de 10% → Fator = 1,10
• Aumento de 20% → Fator = 1,20
Fator total: 1,10 × 1,20 = 1,32
Salário final: 4.000 × 1,32 = R$ 5.280,00
Aumento total: 32% (não 30%!)
Exemplo 5 – Aumento seguido de Desconto

Um produto custava R$ 200. Sofreu aumento de 25% e depois desconto de 20%. Qual o preço final?

Resolução:
Fatores:
• Aumento de 25% → Fator = 1,25
• Desconto de 20% → Fator = 0,80
Fator total: 1,25 × 0,80 = 1,00
Preço final: 200 × 1,00 = R$ 200,00
Observe: Voltou ao preço original! Aumento de 25% seguido de desconto de 20% resulta em variação de 0%.
Desconto de X% “cancela” aumento de Y%?

Para que um desconto anule um aumento (ou vice-versa), use:

$$\text{Desconto necessário} = \frac{\text{Aumento}}{1 + \text{Aumento}}$$

Ex: Para anular aumento de 25% (0,25):
Desconto = 0,25 ÷ 1,25 = 0,20 = 20%

7. Encontrando o Valor Original

Quando conhecemos o valor final e queremos o original:

$$\text{Valor Original} = \frac{\text{Valor Final}}{\text{Fator}}$$
Exemplo 6 – Encontrando o valor original

Após um aumento de 15%, o efetivo de uma unidade passou a ter 460 policiais. Qual era o efetivo anterior?

Resolução:
Fator de aumento: 1,15
Efetivo original:
$$\text{Original} = \frac{460}{1,15} = \textbf{400 policiais}$$
Verificação: 400 × 1,15 = 460 ✓

8. Variação Percentual

Cálculo da Variação Percentual:

$$\text{Variação \%} = \frac{\text{Valor Final} – \text{Valor Inicial}}{\text{Valor Inicial}} \times 100$$

Se positiva → aumento   |   Se negativa → redução

Exemplo 7 – Variação Percentual

O número de ocorrências em janeiro foi 250. Em fevereiro, foram 300 ocorrências. Qual foi a variação percentual?

Resolução:
Aplicando a fórmula:
$$\text{Variação} = \frac{300 – 250}{250} \times 100 = \frac{50}{250} \times 100 = \textbf{20\%}$$
Conclusão: Houve um aumento de 20% nas ocorrências.
A base de comparação importa!

• De 200 para 300 = aumento de 50%
• De 300 para 200 = redução de 33,33%

A mesma diferença absoluta (100) gera variações percentuais diferentes!

9. Estratégias para Questões Cebraspe

1. Use fatores multiplicadores: É mais rápido e evita erros. Em vez de calcular a porcentagem e somar/subtrair, multiplique diretamente pelo fator.
2. Cuidado com a base: Sempre identifique “porcentagem DE QUÊ”. A base muda o resultado completamente.
3. Variações sucessivas: Multiplique os fatores. Nunca some porcentagens de aumentos/descontos sucessivos.
Atalhos úteis:

• Aumento de 100% = dobra o valor (fator 2)
• Aumento de 50% = valor × 1,5
• Desconto de 50% = divide por 2 (fator 0,5)
• Para calcular 15%: calcule 10% + 5% (metade de 10%)

🎯 Teste Seus Conhecimentos

10 questões no estilo Cebraspe – Formato: CERTO ou ERRADO

Questão 1
Se 30% dos 500 policiais de um batalhão estão de férias, então 150 policiais estão de férias.
Questão 2
Um produto que custa R$ 80,00 com desconto de 15% passa a custar R$ 65,00.
Questão 3
Um valor que sofre aumento de 20% seguido de outro aumento de 30% tem, ao final, um aumento total de 50%.
Questão 4
Se o efetivo de uma unidade policial aumentou de 200 para 250, então houve um aumento percentual de 25%.
Questão 5
Um aumento de 50% seguido de um desconto de 50% faz o valor retornar ao original.
Questão 6
Após um desconto de 20%, um equipamento passou a custar R$ 400,00. O preço original era R$ 480,00.
Questão 7
25% é equivalente à fração 1/4 e ao decimal 0,25.
Questão 8
Se a criminalidade caiu de 400 para 300 ocorrências, a redução percentual foi de 25%.
Questão 9
Para calcular 35% de um valor, pode-se calcular 30% + 5% desse valor, o que equivale a multiplicar o valor por 0,35.
Questão 10
Um salário de R$ 3.000,00 que recebe aumento de 40% passa a ser R$ 4.200,00. Se esse novo salário sofrer um desconto de 40%, voltará a ser R$ 3.000,00.

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