Regra de Três Simples e Composta – Preparação PM

📚 Regra de Três Simples e Composta

Preparação para Concursos Militares – Soldado PM

1. Introdução à Regra de Três

O que é Regra de Três?

A Regra de Três é um método matemático utilizado para encontrar um valor desconhecido quando temos três valores conhecidos que se relacionam proporcionalmente.

É uma das ferramentas mais cobradas em concursos da Cebraspe para área policial!

Antes de aplicar a regra de três, é fundamental identificar:

  • Quais são as grandezas envolvidas no problema
  • Que tipo de relação existe entre elas (direta ou inversa)
  • Quantas grandezas estão envolvidas (simples ou composta)

2. Regra de Três Simples

Regra de Três Simples

É utilizada quando o problema envolve apenas duas grandezas que se relacionam de forma proporcional (direta ou inversamente).

2.1 Regra de Três Simples Direta

Usamos quando as grandezas são diretamente proporcionais: se uma aumenta, a outra também aumenta na mesma proporção.

Estrutura:

Grandeza A      Grandeza B

↓    a₁            b₁    ↓
↓    a₂            x     ↓

Setas no MESMO sentido = DIRETA
$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{x} \implies x = \frac{a_2 \times b_1}{a_1}$$
Exemplo 1 – Regra de Três Direta

Uma equipe de 4 policiais realiza 32 abordagens em um turno. Mantendo o mesmo ritmo, quantas abordagens fariam 7 policiais?

Resolução:
Passo 1: Identificar as grandezas
• Grandeza A: Número de policiais
• Grandeza B: Número de abordagens
Passo 2: Verificar a relação
Mais policiais → Mais abordagens?
SIM! Logo, é diretamente proporcional.
Passo 3: Montar a proporção

4 policiais → 32 abordagens
7 policiais → x abordagens

$$\frac{4}{7} = \frac{32}{x}$$
Passo 4: Resolver
4 × x = 7 × 32
4x = 224
x = 224 ÷ 4 = 56 abordagens

2.2 Regra de Três Simples Inversa

Usamos quando as grandezas são inversamente proporcionais: se uma aumenta, a outra diminui na mesma proporção.

Estrutura:

Grandeza A      Grandeza B

↓    a₁            b₁    ↑
↓    a₂            x     ↑

Setas em sentidos OPOSTOS = INVERSA
$$a_1 \times b_1 = a_2 \times x \implies x = \frac{a_1 \times b_1}{a_2}$$
Exemplo 2 – Regra de Três Inversa

Uma operação policial seria concluída por 8 policiais em 15 dias. Se forem designados 12 policiais para a mesma operação, em quantos dias ela será concluída?

Resolução:
Passo 1: Identificar as grandezas
• Grandeza A: Número de policiais
• Grandeza B: Número de dias
Passo 2: Verificar a relação
Mais policiais → Menos dias?
SIM! Logo, é inversamente proporcional.
Passo 3: Montar a equação (produto constante)

8 policiais → 15 dias
12 policiais → x dias

8 × 15 = 12 × x
Passo 4: Resolver
120 = 12x
x = 120 ÷ 12 = 10 dias
Como identificar rapidamente:

Faça a pergunta: “Se eu DOBRAR a primeira grandeza…”

• …a segunda também DOBRA? → É DIRETA
• …a segunda CAI PELA METADE? → É INVERSA

3. Regra de Três Composta

Regra de Três Composta

É utilizada quando o problema envolve três ou mais grandezas que se relacionam simultaneamente com uma grandeza desconhecida.

Passo a passo para resolver:

  1. Identificar todas as grandezas envolvidas
  2. Isolar a grandeza que contém o valor desconhecido (x)
  3. Analisar cada grandeza separadamente em relação à grandeza do x
  4. Colocar setas indicando se cada relação é direta ou inversa
  5. Montar a equação e resolver

Estrutura Geral:

  A        B        C (grandeza do x)

  a₁       b₁        c₁
  a₂       b₂        x

Analise cada coluna em relação à coluna do x:

• Se a seta estiver no mesmo sentido → mantém a fração

• Se a seta estiver no sentido oposto → inverte a fração

Exemplo 3 – Regra de Três Composta

Em uma operação, 6 policiais trabalhando 8 horas por dia concluem uma tarefa em 10 dias. Quantos dias serão necessários para que 8 policiais, trabalhando 6 horas por dia, concluam a mesma tarefa?

Resolução:
Passo 1: Identificar as grandezas
• Policiais | Horas/dia | Dias
• 6             | 8             | 10
• 8             | 6             | x
Passo 2: Analisar cada relação com “Dias”

Policiais × Dias:
Mais policiais → Menos dias? SIM → INVERSA ↑↓

Horas × Dias:
Mais horas/dia → Menos dias? SIM → INVERSA ↑↓
Passo 3: Montar a equação
Como ambas são inversas, invertemos as frações:

$$\frac{x}{10} = \frac{6}{8} \times \frac{8}{6}$$
Passo 4: Resolver
$$\frac{x}{10} = \frac{48}{48} = 1$$
x = 10 × 1 = 10 dias
Exemplo 4 – Regra de Três Composta (Mista)

Para patrulhar uma área de 200 km², 5 viaturas levam 4 dias trabalhando 10 horas por dia. Quantas horas por dia deverão trabalhar 8 viaturas para patrulhar uma área de 320 km² em 5 dias?

Resolução:
Passo 1: Organizar os dados
Área (km²) Viaturas Dias Horas/dia
200 5 4 10
320 8 5 x
Passo 2: Analisar cada relação com “Horas/dia”

Área × Horas: Mais área → Mais horas? SIM → DIRETA
Viaturas × Horas: Mais viaturas → Menos horas? SIM → INVERSA
Dias × Horas: Mais dias → Menos horas/dia? SIM → INVERSA
Passo 3: Montar a equação
$$\frac{x}{10} = \frac{320}{200} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{5}$$
(Direta mantém, Inversas invertem)
Passo 4: Resolver
$$\frac{x}{10} = \frac{320 \times 5 \times 4}{200 \times 8 \times 5} = \frac{6400}{8000} = \frac{4}{5}$$
x = 10 × (4/5) = 10 × 0,8 = 8 horas/dia

4. Resumo: Identificando Relações

Contexto Policial Grandeza A Grandeza B Relação
Efetivo × Tempo Policiais Dias/Horas INVERSA
Efetivo × Produção Policiais Abordagens DIRETA
Velocidade × Tempo km/h Horas INVERSA
Distância × Combustível km Litros DIRETA
Área × Tempo km² Dias DIRETA
Horas/dia × Dias Horas/dia Dias totais INVERSA

5. Estratégias para Questões Cebraspe

1. Leia o problema duas vezes: A primeira para entender o contexto, a segunda para identificar as grandezas e seus valores.
2. Organize em tabela: Sempre coloque os dados em uma tabela com as grandezas nas colunas. Isso evita confusão.
3. Analise uma grandeza por vez: Na regra de três composta, compare cada grandeza separadamente com a grandeza do x.
Armadilhas comuns:

• Confundir o tipo de proporção (direta/inversa)
• Não perceber que é regra de três composta
• Inverter a fração errada na hora de montar a equação
• Não verificar se a resposta faz sentido no contexto
Verificação rápida:

Após encontrar o resultado, faça uma análise lógica:
• Se aumentou o número de trabalhadores, o tempo deve diminuir
• Se aumentou a área a ser coberta, o tempo deve aumentar
• Se o resultado contradiz a lógica, refaça os cálculos!

6. Fórmulas Resumidas

Tipo Quando usar Fórmula
Simples Direta 2 grandezas, mesma direção a₁/a₂ = b₁/x
Simples Inversa 2 grandezas, direções opostas a₁ × b₁ = a₂ × x
Composta 3+ grandezas x/c₁ = (frações conforme relação)

🎯 Teste Seus Conhecimentos

10 questões no estilo Cebraspe – Formato: CERTO ou ERRADO

Questão 1
Se 5 policiais realizam 40 abordagens em um turno de trabalho, então 8 policiais, trabalhando no mesmo ritmo, realizarão 64 abordagens. Essa situação configura uma regra de três simples direta.
Questão 2
Uma viatura policial percorre certa distância em 3 horas a uma velocidade de 80 km/h. Se a velocidade fosse aumentada para 120 km/h, o tempo necessário para percorrer a mesma distância seria de 2 horas.
Questão 3
Em uma operação policial, 10 agentes concluem determinada tarefa em 6 dias. Se o efetivo for reduzido para 4 agentes, mantendo-se as mesmas condições de trabalho, a tarefa será concluída em 15 dias.
Questão 4
Se 6 policiais, trabalhando 8 horas por dia, concluem uma ronda em 5 dias, então 4 policiais, trabalhando 6 horas por dia, concluirão a mesma ronda em 10 dias.
Questão 5
Uma viatura consome 45 litros de combustível para percorrer 360 km. Nessas condições, para percorrer 480 km, seriam necessários 60 litros de combustível. Essa relação entre distância e consumo é inversamente proporcional.
Questão 6
Para cobrir uma área de 100 km², 5 equipes precisam de 8 dias. Para cobrir uma área de 150 km², 6 equipes precisariam de 10 dias, mantendo o mesmo ritmo de trabalho.
Questão 7
Na regra de três composta, quando uma grandeza é inversamente proporcional à grandeza que contém a incógnita, deve-se inverter a fração correspondente antes de efetuar a multiplicação.
Questão 8
Um batalhão precisa transportar 240 soldados. Se cada ônibus comporta 40 passageiros, serão necessários 6 ônibus. Se forem usados ônibus com capacidade para 30 passageiros, serão necessários 8 ônibus. Essa é uma situação de grandezas inversamente proporcionais.
Questão 9
Em 12 dias, 15 policiais, trabalhando 6 horas por dia, conseguem patrulhar certa região. Se o número de policiais for aumentado para 18 e as horas diárias de trabalho para 8, o mesmo serviço será concluído em 7,5 dias.
Questão 10
Se 20 policiais fazem a segurança de um evento em 3 dias, então 12 policiais fariam a mesma segurança em 5 dias. Isso ocorre porque a relação entre número de policiais e dias de trabalho é uma regra de três simples direta.

Resultado Final

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