Regra de Três Simples e Composta – Preparação PM

📐 Regra de Três Simples e Composta

Preparação para Concursos Militares – Soldado PM

1. O que é Regra de Três?

Regra de Três

Regra de Três é um método matemático utilizado para resolver problemas que envolvem proporção entre grandezas. Ela permite encontrar um valor desconhecido quando se conhecem três valores relacionados.

Existem dois tipos principais: Simples (duas grandezas) e Composta (três ou mais grandezas).

A regra de três é fundamental em:

  • Cálculos de proporção e escala.
  • Problemas de velocidade, tempo e distância.
  • Conversões de unidades.
  • Distribuição e partilha de quantidades.
  • Problemas de porcentagem e juros simples.
Cuidado com a proporcionalidade:

• Diretamente proporcionais: quando uma aumenta, a outra também aumenta na mesma proporção.
• Inversamente proporcionais: quando uma aumenta, a outra diminui na mesma proporção.

Em concursos militares, identificar corretamente o tipo de proporção é essencial para resolver o problema.

2. Regra de Três Simples

Regra de Três Simples

Envolve apenas duas grandezas. Divide-se em:

• Direta: as grandezas são diretamente proporcionais.

• Inversa: as grandezas são inversamente proporcionais.

2.1 Regra de Três Simples Direta

Método:

1. Identificar as duas grandezas envolvidas.

2. Verificar se são diretamente proporcionais (ambas aumentam ou ambas diminuem).

3. Montar a proporção: $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$

4. Resolver a equação: $x = \frac{b \cdot c}{a}$

Exemplo 1 – Regra de Três Simples Direta

Um carro percorre 150 km em 2 horas. Quanto ele percorrerá em 5 horas, mantendo a mesma velocidade?

Resolução:
Grandezas: Distância (km) e Tempo (horas) — ambas aumentam juntas → diretamente proporcionais.
Montando a proporção:
$$\frac{150}{2} = \frac{x}{5}$$
Resolvendo:
$$x = \frac{150 \cdot 5}{2} = \frac{750}{2} = \textbf{375 km}$$

2.2 Regra de Três Simples Inversa

Método:

1. Identificar as duas grandezas envolvidas.

2. Verificar se são inversamente proporcionais (uma aumenta, a outra diminui).

3. Montar a proporção invertida: $\frac{a}{b} = \frac{x}{c}$ (inverta uma das razões)

4. Resolver: $x = \frac{a \cdot c}{b}$

Exemplo 2 – Regra de Três Simples Inversa

4 operários constroem um muro em 6 dias. Quantos dias levariam 12 operários para construir o mesmo muro?

Resolução:
Grandezas: Operários e Dias — quando aumentam os operários, diminuem os dias → inversamente proporcionais.
Montando a proporção (inversa):
$$\frac{4}{12} = \frac{x}{6}$$
Resolvendo:
$$x = \frac{4 \cdot 6}{12} = \frac{24}{12} = \textbf{2 dias}$$

3. Regra de Três Composta

Regra de Três Composta

Envolve três ou mais grandezas simultaneamente. O método consiste em:

1. Montar uma tabela com todas as grandezas.

2. Identificar o tipo de proporção (direta ou inversa) para cada grandeza em relação à incógnita.

3. Montar a proporção geral invertendo as razões das grandezas inversamente proporcionais.

3.1 Método Prático da Regra de Três Composta

Passo 1: Organize as grandezas em uma tabela.

Passo 2: Identifique se cada grandeza (auxiliar) é diretamente ou inversamente proporcional à grandeza que contém a incógnita.

Passo 3: Inverta as frações das grandezas inversamente proporcionais.

Passo 4: Multiplique todas as razões e igualize à razão que contém a incógnita.

Exemplo 3 – Regra de Três Composta

Se 5 máquinas produzem 100 peças em 4 horas, quantas peças 8 máquinas produzirão em 6 horas?

Resolução:
Grandezas: Máquinas, Peças (incógnita), Horas
Tabela:
Máquinas Peças Horas
5 100 4
8 x 6
Análise: Máquinas e Horas são diretamente proporcionais às Peças (mais máquinas → mais peças; mais horas → mais peças).
Proporção:
$$\frac{100}{x} = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{6}$$
Resolvendo:
$$\frac{100}{x} = \frac{20}{48} = \frac{5}{12}$$
$$x = \frac{100 \cdot 12}{5} = \frac{1200}{5} = \textbf{240 peças}$$

4. Exemplo Composto com Inversão

Exemplo 4 – Regra de Três Composta com Inversão

20 operários levam 30 dias para construir uma ponte, trabalhando 8 horas por dia. Quanto tempo levará se 30 operários trabalharem 6 horas por dia?

Resolução:
Grandezas: Operários, Dias (incógnita), Horas/dia
Tabela:
Operários Dias Horas/dia
20 30 8
30 x 6
Análise: Operários são inversamente proporcionais aos Dias (mais operários → menos dias). Horas/dia são inversamente proporcionais aos Dias (mais horas → menos dias).
Proporção (com inversões):
$$\frac{30}{x} = \frac{30}{20} \cdot \frac{6}{8}$$
Resolvendo:
$$\frac{30}{x} = \frac{180}{160} = \frac{9}{8}$$
$$x = \frac{30 \cdot 8}{9} = \frac{240}{9} \approx \textbf{26,67 dias}$$
Dica de Ouro para Regra de Três Composta:

Sempre coloque a grandeza com a incógnita (x) no numerador da esquerda. Isso facilita a visualização.

Regra prática: “Grandezas diretamente proporcionais entram no numerador ou denominador naturalmente. Grandezas inversamente proporcionais você inverte a fração antes de multiplicar.”

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20 questões no estilo Cebraspe – Formato: CERTO ou ERRADO

Questão 1
A regra de três simples direta é aplicada quando duas grandezas aumentam ou diminuem juntas, mantendo a mesma proporção.
Questão 2
Se um carro percorre 200 km em 4 horas, então em 6 horas percorrerá 300 km, mantendo a mesma velocidade.
Questão 3
Na regra de três simples inversa, quando uma grandeza aumenta, a outra diminui na mesma proporção.
Questão 4
Se 5 operários constroem um muro em 10 dias, então 10 operários construirão o mesmo muro em 5 dias (inversamente proporcionais).
Questão 5
A regra de três composta envolve apenas duas grandezas, enquanto a simples envolve três ou mais grandezas.
Questão 6
Se 3 máquinas produzem 90 peças em 2 horas, então 6 máquinas produzirão 180 peças em 2 horas, pois o número de máquinas dobrou.
Questão 7
Na regra de três composta, para encontrar o valor desconhecido com grandezas inversamente proporcionais, deve-se inverter a fração correspondente.
Questão 8
Se 4 torneiras enchem um tanque em 8 horas, então 2 torneiras encherão o mesmo tanque em 4 horas (inversamente proporcionais).
Questão 9
A regra de três é um método que pode ser aplicado em problemas de proporção, velocidade, conversão de unidades e distribuição de quantidades.
Questão 10
Se 2 pintores pintam uma parede em 6 horas, então 3 pintores pintarão a mesma parede em 4 horas (inversamente proporcionais).
Questão 11
Um lote com 1200 bolinhas de gude deve ser distribuído entre 5 crianças de forma proporcional ao número de horas que cada uma trabalhou: 8, 6, 4, 2 e 4 horas, respectivamente. A criança que trabalhou 8 horas receberá 320 bolinhas.
Questão 12
Se 8 máquinas produzem 240 peças em 3 horas, então 12 máquinas produzirão 450 peças em 3 horas (apenas máquinas aumentaram, não o tempo).
Questão 13
Na regra de três composta, todas as grandezas auxiliares devem ser analisadas em relação à grandeza que contém a incógnita.
Questão 14
Se uma obra é realizada por 10 operários em 15 dias, trabalhando 8 horas por dia, então 15 operários farão a mesma obra em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia (inversamente proporcionais).
Questão 15
Uma escala de mapa 1:500.000 significa que 1 cm no mapa representa 500.000 cm na realidade, ou seja, 5 km. Este é um exemplo de aplicação da regra de três simples.
Questão 16
Se 6 pessoas comem 18 sanduíches em 3 horas, então 9 pessoas comerão 27 sanduíches em 3 horas, mantendo o mesmo ritmo de consumo por pessoa.
Questão 17
Em uma regra de três composta, se as grandezas auxiliares forem todas diretamente proporcionais, não é necessário inverter nenhuma fração, pois todas entram no denominador.
Questão 18
Se 5 torneiras enchem um tanque em 12 horas, então 3 torneiras encherão o mesmo tanque em 20 horas (inversamente proporcionais).
Questão 19
A regra de três é uma ferramenta matemática que resolve qualquer tipo de problema, desde que se identifique corretamente a relação de proporcionalidade entre as grandezas envolvidas.
Questão 20
Se 12 operários, trabalhando 8 horas por dia, constroem 48 metros de muro em 10 dias, então 18 operários, trabalhando 6 horas por dia, construirão 54 metros de muro em 10 dias (regra de três composta).

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