Proporções e Divisão Proporcional – Preparação PM

📚 Proporções e Divisão Proporcional

Preparação para Concursos Militares – Soldado PM

1. Razão

Razão entre duas grandezas

Dados dois números a e b, com b ≠ 0, chama-se razão de a para b o quociente:

$$\text{Razão} = \frac{a}{b} \quad \text{ou} \quad a : b$$

Onde a é o antecedente e b é o consequente.

Exemplo 1 – Contexto Policial

Em um batalhão da PM há 120 policiais masculinos e 30 policiais femininas. Determine a razão entre o número de homens e mulheres.

Resolução:
Passo 1: Identificar as grandezas
Homens: 120  |  Mulheres: 30
Passo 2: Calcular a razão
$$\frac{\text{Homens}}{\text{Mulheres}} = \frac{120}{30} = \frac{4}{1} = 4:1$$
Interpretação: Para cada 4 policiais masculinos, há 1 policial feminina.

1.1 Razão Inversa

Razão Inversa

Se a razão de a para b é a/b, então a razão inversa é:

$$\text{Razão inversa} = \frac{b}{a}$$
Fique atento à ordem das grandezas! “Razão de A para B” é A/B, diferente de “razão de B para A” que é B/A.

2. Proporção

Proporção

Proporção é a igualdade entre duas razões. Se a/b = c/d, dizemos que a, b, c e d formam uma proporção:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \text{ou} \quad a : b :: c : d$$

Lê-se: “a está para b assim como c está para d”

Propriedade Fundamental das Proporções:

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a \times d = b \times c$$

Onde a e d são os extremos, e b e c são os meios.

Exemplo 2 – Verificação de Proporção

Verifique se 2, 3, 8 e 12 formam, nessa ordem, uma proporção.

Resolução:
Passo 1: Montar a proporção
$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$$
Passo 2: Aplicar a propriedade fundamental
Extremos: 2 × 12 = 24
Meios: 3 × 8 = 24
Conclusão: Como 24 = 24, os números formam uma proporção. ✓
Exemplo 3 – Encontrar termo desconhecido

Encontre o valor de x na proporção:

$$\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$$
Resolução:
Passo 1: Aplicar produto dos extremos = produto dos meios
$$3 \times 20 = 5 \times x$$
Passo 2: Resolver a equação
60 = 5x
x = 60 ÷ 5 = 12

3. Grandezas Proporcionais

3.1 Grandezas Diretamente Proporcionais

Grandezas Diretamente Proporcionais (GDP)

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao multiplicar (ou dividir) uma delas por um número, a outra fica multiplicada (ou dividida) pelo mesmo número.

Se A aumenta ↑ então B aumenta ↑ (na mesma proporção)

Relação Matemática:

$$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$$

ou

$$\frac{A_1}{B_1} = \frac{A_2}{B_2} = k \text{ (constante)}$$
Contexto Grandeza A Grandeza B Relação
Patrulha Policiais Área coberta ↑ = ↑
Combustível Quilometragem Litros gastos ↑ = ↑
Transporte Viaturas Capacidade ↑ = ↑

3.2 Grandezas Inversamente Proporcionais

Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP)

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao multiplicar uma delas por um número, a outra fica dividida pelo mesmo número.

Se A aumenta ↑ então B diminui ↓ (na mesma proporção)

Relação Matemática:

$$A_1 \times B_1 = A_2 \times B_2 = k$$

ou equivalentemente:

$$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_2}{B_1}$$
Contexto Grandeza A Grandeza B Relação
Operação Policiais Tempo ↑ = ↓
Deslocamento Velocidade Tempo ↑ = ↓
Trabalho Equipes Dias ↑ = ↓
Macete para identificar: Pergunte-se “Se uma grandeza DOBRA, a outra também DOBRA (direta) ou CAI PELA METADE (inversa)?”

4. Divisão Proporcional Simples

4.1 Divisão Diretamente Proporcional

Divisão em partes diretamente proporcionais

Dividir um número N em partes diretamente proporcionais a a, b e c significa encontrar x, y e z tais que:

$$x + y + z = N$$

e

$$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$$

Fórmulas para divisão diretamente proporcional:

$$x = N \times \frac{a}{a+b+c}$$
$$y = N \times \frac{b}{a+b+c}$$
$$z = N \times \frac{c}{a+b+c}$$
Exemplo 4 – Divisão Direta

Divida 150 munições entre 3 soldados na proporção 2:3:5.

Resolução:
Passo 1: Calcular a soma das partes
S = 2 + 3 + 5 = 10
Passo 2: Calcular cada parte

Soldado 1: 150 × (2/10) = 150 × 0,2 = 30 munições

Soldado 2: 150 × (3/10) = 150 × 0,3 = 45 munições

Soldado 3: 150 × (5/10) = 150 × 0,5 = 75 munições
Verificação: 30 + 45 + 75 = 150 ✓

4.2 Divisão Inversamente Proporcional

Divisão em partes inversamente proporcionais

Dividir um número N em partes inversamente proporcionais a a, b e c equivale a dividir N em partes diretamente proporcionais aos inversos:

$$\frac{1}{a}, \quad \frac{1}{b}, \quad \frac{1}{c}$$

Método de Resolução:

1º) Calcular os inversos: 1/a, 1/b, 1/c

2º) Encontrar o MMC e transformar em proporção direta

3º) Aplicar a divisão diretamente proporcional

Exemplo 5 – Divisão Inversa

Divida R$ 1.800,00 inversamente proporcional a 2, 3 e 6.

Resolução:
Passo 1: Calcular os inversos
1/2,   1/3,   1/6
Passo 2: Encontrar o MMC(2, 3, 6) = 6 e igualar denominadores
3/6,   2/6,   1/6

Proporção equivalente: 3 : 2 : 1
Passo 3: Aplicar divisão direta com 3:2:1
S = 3 + 2 + 1 = 6

Parte 1: 1800 × (3/6) = R$ 900,00
Parte 2: 1800 × (2/6) = R$ 600,00
Parte 3: 1800 × (1/6) = R$ 300,00
Verificação: 900 + 600 + 300 = 1800 ✓
Na divisão inversamente proporcional, quem tem o maior número recebe a menor parte!

5. Divisão Proporcional Composta

Divisão Proporcional Composta

Ocorre quando a divisão depende de mais de um critério simultaneamente, podendo ser:

  • Diretamente proporcional a uma grandeza e diretamente a outra
  • Diretamente proporcional a uma grandeza e inversamente a outra
  • Inversamente proporcional a ambas as grandezas

Cálculo do Coeficiente:

Para cada elemento, calcule o coeficiente multiplicando:

$$\text{Coef.} = (\text{grandeza direta}) \times \frac{1}{\text{grandeza inversa}}$$
Exemplo 6 – Divisão Composta

Uma gratificação de R$ 2.400,00 será dividida entre dois policiais, de forma diretamente proporcional às horas trabalhadas e inversamente proporcional às faltas.

Policial Horas Faltas
A 40 2
B 30 3
Resolução:
Passo 1: Calcular os coeficientes (direta × inversa)
Coef. A = 40 × (1/2) = 20
Coef. B = 30 × (1/3) = 10
Passo 2: Estabelecer a proporção
Proporção: 20 : 10 = 2 : 1
S = 2 + 1 = 3
Passo 3: Calcular as partes
Policial A: 2400 × (2/3) = R$ 1.600,00
Policial B: 2400 × (1/3) = R$ 800,00

6. Regra de Três

6.1 Regra de Três Simples Direta

Grandezas Diretamente Proporcionais:

$$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$$

As setas ficam no mesmo sentido: ↑ ↑ ou ↓ ↓

Exemplo 7 – Regra de Três Direta

Se 5 policiais fazem 20 abordagens em um turno, quantas abordagens farão 8 policiais?

Resolução:
Passo 1: Montar a relação

5 policiais → 20 abordagens
8 policiais → x abordagens

Mais policiais → mais abordagens (DIRETA)
Passo 2: Resolver
5/8 = 20/x
5x = 160
x = 32
Resposta: 8 policiais farão 32 abordagens.

6.2 Regra de Três Simples Inversa

Grandezas Inversamente Proporcionais:

$$A_1 \times B_1 = A_2 \times B_2$$

As setas ficam em sentidos opostos: ↑ ↓ ou ↓ ↑

Exemplo 8 – Regra de Três Inversa

Se 6 policiais concluem uma operação em 10 dias, em quantos dias 15 policiais concluiriam?

Resolução:
Passo 1: Montar a relação

6 policiais → 10 dias
15 policiais → x dias

Mais policiais → menos dias (INVERSA)
Passo 2: Resolver (produto constante)
6 × 10 = 15 × x
60 = 15x
x = 4
Resposta: 15 policiais concluiriam em 4 dias.

7. Resumo das Fórmulas

Conceito Fórmula
Razão de a para b a/b ou a:b
Proporção a/b = c/d ⇒ a×d = b×c
GDP (Direta) A₁/A₂ = B₁/B₂
GIP (Inversa) A₁ × B₁ = A₂ × B₂
Divisão Direta Parte = N × a/(a+b+c)
Divisão Inversa Usar inversos: 1/a : 1/b : 1/c
Sempre verifique: Ao final da divisão proporcional, some todas as partes. O resultado deve ser igual ao valor total!

🎯 Teste Seus Conhecimentos

10 questões no estilo Cebraspe – Formato: CERTO ou ERRADO

Questão 1
Em um batalhão da PM, há 180 policiais masculinos e 45 policiais femininas. Nessa situação, a razão entre o número de policiais femininas e o total de policiais do batalhão é igual a 1/5.
Questão 2
Para verificar se os números 4, 6, 10 e 15 formam, nessa ordem, uma proporção, um soldado aplicou a propriedade fundamental. Nessa situação, ele concluiu corretamente que esses números formam uma proporção, pois 4 × 15 = 6 × 10.
Questão 3
Uma gratificação de R$ 2.700,00 deve ser dividida entre três soldados na proporção direta de 2:3:4. Nessa situação, o soldado que receberá a maior parte terá direito a R$ 1.200,00.
Questão 4
Se 8 policiais conseguem realizar a segurança de um evento em 6 horas, então 12 policiais, trabalhando no mesmo ritmo, conseguiriam realizar a mesma segurança em 4 horas. Essa situação exemplifica grandezas inversamente proporcionais.
Questão 5
O comandante de uma operação precisa dividir 480 munições entre três equipes de forma inversamente proporcional ao número de integrantes: equipe A com 2 integrantes, equipe B com 3 integrantes e equipe C com 4 integrantes. Nessa divisão, a equipe A receberá 160 munições.
Questão 6
Uma viatura percorre 240 km com 30 litros de combustível. Considerando que o consumo seja constante, para percorrer 400 km seriam necessários 50 litros de combustível. Essa relação entre quilometragem e combustível é uma grandeza diretamente proporcional.
Questão 7
Em uma proporção onde x/12 = 15/20, o valor de x é igual a 9.
Questão 8
Um destacamento policial é composto por oficiais e praças na razão de 2 para 7. Se o destacamento possui 36 membros no total, então há exatamente 8 oficiais.
Questão 9
Durante uma operação, verificou-se que 5 viaturas transportam 40 policiais. Mantendo a mesma proporção de ocupação, 8 viaturas transportariam 64 policiais. Essa relação configura grandezas diretamente proporcionais.
Questão 10
Uma bonificação de R$ 3.600,00 será dividida entre dois sargentos de forma diretamente proporcional aos dias trabalhados e inversamente proporcional às faltas. O sargento A trabalhou 20 dias e teve 2 faltas; o sargento B trabalhou 15 dias e teve 3 faltas. Nessa situação, o sargento A receberá R$ 2.400,00.

Resultado Final

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